오차

오차론의 중요성

   

   

1. 오차의 종류와 정의

과학에서 오차는 반드시 발생한다. 따라서 오차를 최대한 줄이려면 측정을 정확하게 하거나 측정 횟수를 매우 크게 해야 한다. 물리량을 측정 할 때는 측정기구가 필요하다. 측정자가 측정 기구를 이용하여 어떤 물리량을 잰다고 하자. 세심한 주의를 기울여 측정자의 과실이 없도록 측정하더라도 측정결과는 참값에 가까울 뿐 참값은 아니다. 다시 말하면 참값이 t 인 양을 측정하여 z라는 측정치를 얻었다면 일반적으로 t와 z은 일치하지 않는데, 이 때 측정값-참값이 바로 오차이다. (오차 = 측정값 - 참값) 참값은 정확히 알 수 없는 양이므로 오차도 정확히 알 수는 없고 단지 추측할 수 있는 수치일 뿐이다. 오차는 우리에게 여러 가지를 알려준다. 그중 하나로 오차를 통해 우리가 한 실험이 잘 된 것인지 잘 안된 것인지 판단할 수 있다. 예를 들어 보자. 만약 휴대폰의 무게를 철수와 영희가 측정했다고 해보자. 철수는 '5.5kg이상 6.5kg이하' 라고 측정하였고, 영희는 '4.95kg이상 5.15kg이하'라고 측정하였다. 이 측정은 둘다 잘못한 것이다. 둘의 오차범위가 일치하지 않기 때문이다.

   

   

오차에는 그림에서 보듯이 여러 가지 종류가 있다. 이제 각 오차의 특징을 살펴보자.

먼저 계통오차는 측정계기의 미비한 점에 기인되는 오차로서 그 크기와 부호를 추정할 수 있고 보정할 수 있는 오차이다. 이런 계통오차는 실험자가 주의를 하면 제거할 수 있는 오차이다. 두 번째로 우발오차는 한 가지 실험측정을 반복할 때 측정값들의 변동으로 인한 오차를 말하며 계통오차와 달리 제거할 수 없고 보정할 수도 없는 것이다. 하지만 측정의 회수를 될 수 있는 대로 많이 하여 오차의 분포를 살펴 가장 확실성 있는 값, 즉 최확치를 추정할 수 있는 것이다. 일반적으로 계통오차가 없을 때는 측정결과가 정확하다고 말하고, 우발오차가 작을 때는 정밀하다고 말한다.

   

2.유효숫자

오차를 얘기할 때 빼놓을 수 없는 것들 중 하나가 바로 유효숫자이다. 유효숫자란 수의 정확도를 얘기할 수 있는 것으로, 유효숫자가 많을수록 더욱 정확도가 높아진다. 예를 하나 들어보자. 만약 철수가 연필의 길이를 6cm라고 측정했다고 해보자. 그럼 이 물체 길이의 유효 숫자는 1개가 되고, 참값의 범위는 5.5cm<참값<6.5cm가된다. 이제 영희는 6.0cm라고 측정했다고 해보자. 그럼 이 물체 길이의 유효 숫자는 2개가 되고, 참값의 범위는 5.95cm<참값<6.05cm가 되어 더욱 정확도가 높아지게 된다. 이 때 규칙은 이렇다.

   

가장 작은 눈금의 1/10(또는 0.1)을 읽는다.

읽는 값의 오차(판독오차)를 의미하는데 측정기에 표시된 최소눈금의 1/10을 의미한다.

만약 확신이 서지 않으면 최소눈금의 1/5을 읽어도 좋다.

   

이제 유효 숫자를 썼을 때 장점과 단점을 알아보자.

장점	단점
불확실성의 존재를 쉽게 알려준다.	불확실성을 어림셈만을 준다.
곱셈과 나눗셈을 통해 생기는 불확실성을 있는 그대로 평가하기 쉬운 기초를 마련해 준다.	데이터가 결합될 때 불확실성의 축적에 관한 관계를 생략한다.
	곱셈에서조차도 유효숫자의 보통 규칙들은 불확실성을 잘못 지시할 수 있다.

   

위에서 보듯이 유효숫자는 측정하는데 있어 없어서는 안되는 정밀한 측정을 위하여 꼭 필요한 도구이다.

   

3.대푯값

측정을 여러 번 되풀이하면 여러 가지 다른 값을 얻게 되는데, 이 때 많은 측정값으로부터 하나의 대푯값을 결정하는 데는 몇 가지 방법이 있을 수 있다. 첫 번째로 중앙값(Median)을 들 수 있다. 중앙값이란 측정값을 모두 나열했을 때, 중앙에 위치하는 측정값을 말하고, 보통 Me로 나타낸다. 두 번째로 최빈값(Mode) 이 있다. 최빈값은 측정값의 빈도가 가장 많이 나타나는 측정치를 말하며, 보통 Mo로 표시한다. 셋째로 산술평균(Arithmetical Mean)이 있다. 산술평균이란 만약 측정값들이 x1 x2 x3 x4 … , xN 일때 [ S*xi ]/N으로 정의되는 값이다. 네 번째로 가중평균(Weight Mean)이 있다. 가중평균은 위의 세값에 비해 들어본 적이 적을 것이다. 가중평균이란 측정값이 경우에 따라서는 같은 측정값이 여러 번 반복되어 나타날 수 있는데, 이 때에는 빈도를 가중치로 택하여 평균값을 계산한다. 측정값들이 x1, x2, x3, … 고 빈도가 각각 f1, f2, f3 … 이라면 평균값은 아래와 같이 계산할 수 있다.

4.편차

먼저 상대오차라는 것을 알아보자. 상대오차는 오차의 절댓값을 참값으로 나눈 것이다. 큰 값과 작은 값이 같은 오차로 측정되었을 때 큰 쪽이 상대적으로 높은 정밀도를 가진다. 이와 같은 측정의 정밀도를 나타내기 위해서는 상대오차로 표시하는 것이 편리하다.

이제 편차를 알아보자. 측정을 할 때 참값을 알 수 없는 경우가 대부분이므로 평균값을 많이 쓴다. 따라서 편차란 측정값-평균값으로 정의된다. 이제 편차의 종류와 계산법을 찾아보자.

(1)평균편차

평균편차란 통계에서 자료의 평균과 각 변량 편차의 절댓값을 평균한 값으로, 정량적인 성질에 관한 집단의 불균일성을 나타내는 특성 값 중 하나이다.

(2)표준편차와 정밀도

측정값의 표준편차는 측정기구의 정밀도와 직접 관계가 있는 것으로 다음과 같다.

그러나 참값을 모르므로 오차를 계산할 수가 없다. 따라서 측정값으로부터 직접 표준편차를 구할 수 없으므로 오차와 편차 사이의 관계식을 이용해야한다. 이 때 관계식은 다음과 같다

N번 측정에 의한 표준편차의 최적어림은 위의 식에 제곱근을 한 것이다. 이것은 N번 측정할 때 임의의 한 측정값의 감도로 표준편차 또는 측정기구의 정밀도라고 한다.

   

◉여기서 궁금한 점이 있다. 왜 N으로 나누지 않고 N-1로 나누는 것일까? 그 이유는 통계학에서는 어떤 대푯값을 구할 때 그 불편성을 고려하는데, 이 때 불편성이란 표본통계량의 기대값이 모집단의 통계량과 일치하는 성질을 말한다. 자료수 그대로 N으로 나누어주게 되면 표본표준편차의 기대값이 모집단의 표준편차와 달라지게 된다. 그래서 자료의 수에서 1을 뺀 N-1로 나누어주는데 이렇게 하게 되면 표본표준편차의 기대값이 표준모집단의 표준편차와 같아지게 된다.

수식의 증명은 다음을 참고하면 된다.

http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=11&dir_id=110203&eid=2nnoU0csUX6FxnuYOzPA3wMTY/0O6sqT&qb=bi0x

   

표준오차

우리는 여러 번 측정한 값으로부터 하나의 대푯값을 세울 때 단일량의 경우 평균값을 최확치로 한다. 그러나 그 평균값이 얼마나 신뢰할 수 있는 정확한 값인가 어떻게 알 수 있을까? 우선 평균값의 표준편차 또는 표준오차의 정의로부터는 어려운 것인데, 우선 현 단계에서는 표준오차의 최적어림으로 다음과 같이 제시된 조정된 오차(s_a)로 구할 수 있다는 것이다.

보통 일반통계에서 " 평균값 ± 조정된 표준오차 "로 써 놓은 것의 의미는 참값이 으로부터

사이에 존재할 확률이 68.3％라는 뜻이지만 물리학 실험에서는 다음과 같은 확률오차의 표현을 하는 것이 보통이다.

   

5.확률오차

확률오차란 어떤 값 보다 큰 오차와 작은 오차가 일어나는 확률이 같을 때 이 값을 확률오차(s_p)라 정의하며 측정값의 신뢰도를 표시하는데 흔히 물리학 실험에서 쓴다. 이것은

이 되는 s_p의 값인데 +s_p와 -s_p에서 y축, 즉 f(e)에 평행한 직선을 그으면 오차곡선과 x축 사이의 면적은 이등분되고 확률오차는 결과적으로 다음과 같이 된다.

   

6.오차의 전파

직육면체의 가로, 세로 및 높이를 각각 열 번씩 측정하여 그 부피를 구하는 실험을 생각해 보자. 이들 데이터를 이용하면 1,000개의 부피에 관한 데이터를 얻을 수 있고 이로부터 평균값과 표준편차를 구할 수 있다. 그러나 보다 합리적인 방법은 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값들을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 구하는 것이다.

이 경우에 문제점은 부피의 오차를 추정하는 것이다. 한 가지 분명한 점은 각 변의 길이의 오차 때문에 부피의 오차가 생긴다는 것이다. 따라서, 실제 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다.

구체적으로 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, … 의 z = f ( x, y, … ) 의 관계로 주어졌다고 하자, 그리고 x, y, … 의 측정으로부터

의 평균값과 σx ,~ σy , …의 표준편차들을 얻었다고 하자. 그러면 z의 평균값은

로 주어지며 z의 표준편차는 다음과 같다.

위의 식을 오차의 전파공식이라고 한다. 실제로 다음과 같은 경우들은 간단한 실험에서 자주 나타나므로 익숙해 두는 것이 좋다.

측정오차가 작을수록 더욱 정확한 값이라는 것은 분명하다. 그러나 제한된 시간에 주어진 측정 도구로 최대한의 좋은 결과를 얻으려면 결과적인 최종오차

가 최소가 되도록 x , y 등의 오차들을 상대적으로 최적화 되도록 실험을 계획하는 것이 중요하다. 유효숫자를 다룰 때 숫자의 가감승제에서 이러한 오차전파의 공식이 반영되어 있음을 알 수 있다. 그리고 공식 (4)와 (5)에서 보듯이 멱함수의 경우에는 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지는 것을 알 수 있으므로 특히 정밀하게 측정해야한다.

   

참조 : 포항공대 게시판 - http://sol.postech.ac.kr/Edulab/gen-phy/exp1/erroran.html

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

<실험 보고서>

▶버니어 캘리퍼스로 정육면체의 밀도구하기

   

정육면체의 질량 데이터(단위 kg)

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
질량	10.5	10.4	10.3	10.2	10.2	10.7	10.5	10.1	10.4	10.3	10.4

   

가로의 길이 데이터(단위 cm)

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
길이	5.31	5.24	5.33	5.27	5.28	5.30	5.31	5.25	5.26	5.26	5.28

표준편차 : 0.00899

   

세로의 길이 데이터(단위 cm)

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
길이	5.322	5.265	5.352	5.273	5.288	5.301	5.298	5.256	5.268	5.311	5.293

표준편차 : 0.00890

   

높이의 길이 데이터(단위 cm)

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
길이	5.31	5.26	5.31	5.29	5.27	5.30	5.31	5.25	5.27	5.29	5.29

표준편차 : 0.00666

   

이제 이 데이터들을 이용하여 부피를 구하여 보자. 부피를 구하면 질량이 있으므로 밀도를 구할 수 있게 된다.

부피 구하기

각각 1회 측정량씩 곱한다. (유효숫자는 3자리, 단위

)

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
부피	150	145	151	147	147	148	149	144	146	147	147

   

   

이제 각 회수별 밀도를 구해보자.

   

밀도 구하기

각각 1회 측정량씩 나눈다. (유효숫자는 3개, E는 10의 제곱)

   

회수	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
밀도	7.00*E-08	7.17*E-08	6.82*E-08	6.94*E-08	6.94*E-08	7.23*E-08	7.05*E-08	7.01*E-08	7.12*E-08	7.01*E-08	7.03*E-08
편차^2	8.52*E-20	2.05*E-18	4.33*E-18	8.17*E-19	8.17*E-19	4.02*E-18	3.17*E-20	2.34*E-20	8.86*E-19	5.01*E-20	1.31*E-18

   

따라서 밀도는

(

)이 된다.

   

오차의 전파를 이용하여 구해보자.

위에서 말한

이 식에 의하면,

밀도는

이 나오게 된다.

   

   

이제 원기둥의 밀도를 구해보자. (위와 같은 방법으로)

   

질량의 데이터 (단위 g)

   

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
110.2	120.3	124.3	152.3	123.3	111.2	103.5	102.2	103.5	109.9	116.0

   

표준 편차 : 15.11

   

반지름의 길이 데이터1 (단위cm)

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
10.33	11.40	9.98	11.23	10.36	9.99	11.01	10.36	10.68	10.98	10.63

   

표준 편차 : 0.5044

   

반지름의 길이 데이터2 (단위cm)

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
10.25	10.36	10.28	10.98	11.99	12.34	9.97	10.24	12.34	10.55	10.93

   

표준 편차 : 0.9342

   

높이의 길이 데이터(단위cm)

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
15.65	16.57	17.77	18.95	14.22	15.26	15.34	16.22	17.25	18.39	16.56

   

표준 편차 : 1.513

   

부피의 데이터(단위cm³)

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
5203	6144	5724	7337	5546	5906	5287	5403	7138	6689	6038

이제 밀도를 구하여 보자.

   

밀도의 데이터 (단위 g/cm )

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회	8회	9회	10회	평균
0.02118	0.01958	0.02357	0.02076	0.02223	0.01883	0.019578	0.01892	0.01450	0.01643	0.01956

   

   

따라서 원기둥의 밀도는

   

   

(

) 이 된다.