복합열전달(Conjugate Heat Transfer)해석
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이번 게시물은 복합열전달의 개념에 대해 설명하고 몇 개의 응용분야를 보여줄 것 입니다. 복합열전달은 고체와 유체에서의 열전달, 즉 전도와 대류가 조합된 것을 말합니다. 이는 여러 상황에서 살펴볼 수 있는데, 예를 들어 heat sinks 주변 유체에서의 대류와 고체에서의 전도에 의한 열 전달이 함께 계산되어 냉각 성능에 대한 평가를 하는 경우가 있습니다.
Heat Transfer by Solids and Fluids Heat Transfer in a Solid
고체에서 열전달이 전도에 의해서만 발생한다면, 온도 구배에 비례하는 전도성 열유속(conductive heat flux) q로 정의된 푸리에 법칙으로 설명할 수 있습니다:
시간 해석 문제의 경우, 움직이지 않는 고체의 온도 분포는 다음과 같은 열 방정식으로 확인할 수 있습니다:
Heat Transfer in a Fluid
유체에서의 열전달은 유체 유동으로 인해 열 방정식에 다음과 같은 3가지 영향이 포함되어 있습니다.
1. 유체의 이동은 대류에 기여하여 열 방정식에 나타나는 에너지 이동을 의미합니다. 유체와 유동 영역의 열적 특성에 따라서 전도 또는 대류 열전달이 중요하게 됩니다.
2. 유체 유동에서 점성으로 인해 유체가 가열이 됩니다. 이러한 열은 보통 무시해도 될 정도로 매우 작지만, 점성 유체가 빠르게 흐를 경우에는 중요해집니다.
3. 유체 밀도가 온도에 의해 변한다면 압력 일(pressure work)은 열 방정식에 영향을 주게 됩니다. 예를 들어 공기를 압축하면 열이 발생하는 잘 알려진 현상을 설명할 수 있습니다.
이 3가지 영향들에 전도를 포함하는 유체에서의 온도 분포를 위한 과도 열 방정식(transient heat equation )은 아래와 같습니다:
Conjugate Heat Transfer Applications Effective Heat Transfer
유체와 고체의 열전달을 결합하는 것은 효과적인 냉각기, 히터, 열교환기를 설계하는데 있어 중요합니다.
유체는 일반적으로 긴 거리에 대한 에너지 운반체 역할을 합니다. 강제 대류는 높은 열 전달율을 얻는 가장 일반적인 방법입니다. 일부 분야에서는 상변화(예를들어 액체 물에서 증기로의 상변화)와 대류가 결합되어 열전달 성능을 더욱 향상시키기도 합니다.
열교환기에서는 고온의 유체와 저온의 유체가 혼합되지 않도록 분리시켜주는 고체가 필요한데, 이 고체를 사이에 두고 서로 에너지를 교환합니다.
얇은 금속 벽에 의해 분리 된 두 유체 사이의 열 전달을 보여주는 관식 열 교환기에서의 유동과 온도 분포.
Heat sink는 일반적으로 구리 또는 알루미늄과 같은 높은 열 전도율을 가진 금속으로 만들어집니다. 이 heat sink는 고체의 표면과 주변 유체 사이에서 열이 교환되는 면적을 증가시켜 방출시킵니다. 그러나 열이 교환되는 면적을 너무 증가시켜 핀간의 간격이 좁아지게 되면 도리어 유체의 흐름을 방해하게 되어 냉각 효율이 떨어질 수 있습니다.
팬과 구멍 뚫린 그릴을 통해 들어오는 공기 유동에 의해 냉각되는 전원 공급 장치에서의 온도 분포. 두 알루미늄 핀은 유체와 전자기 부품간의 열 교환 면적을 증가시키기 위해서 사용됩니다.
Energy Savings
유체와 고체에서의 열 전달은 다양한 장치에서 열 손실을 최소화 하기 위해 결합될 수 있습니다. 대부분의 기체(특히 낮은 압력)는 작은 열 전도율을 가지기 때문에 열적 단열체(유동이 없다고 가정)로서 사용됩니다. 보통 기체는 가볍기 때문에 다른 물질보다 선호됩니다. 어떤 경우에는 자연 대류의 영향을 줄임으로써 대류에 의한 열전달을 제한하는데, 적절한 벽의 위치와 작은 구멍을 사용하여 자연 대류를 제어합니다. 마이크로 스케일에 적용되는 경우, 발포제(e.g. 폴리우레탄)안에 공기의 작은 공동(기포)를 포함시키는 단열 형태가 있는데 이것은 기포가 포함된 만큼 가벼워지지만 이 기포가 열이 이동하는 것에 영향을 미쳐 더 높은 단열 성능을 가질 수 있습니다.
창문 틀의 단면(왼쪽)과 단면의 확대(오른쪽)
ISO 10077-2:2012 에서 창문 프레임과 유리창의 단면의 온도 분포 (창문의 단열 성능).
Fluid and Solid Interactions Fluid/Solid Interface
유체/고체 계면(interface)에서 온도와 열 유속(heat flux)은 연속성을 가지고 있습니다. 그러나 유체의 흐름이 있는 곳에서는 온도 분포가 빠르게 변할 수 있습니다: 고체에 가까울수록 유체의 온도는 고체 온도에 근접하게 되고, 멀어질수록 입구 또는 주변 유체 온도에 근접하게 됩니다. 고체 온도에서 유체 포용 온도(bulk temperature)로 변하는 유체 온도 구간을 열 경계층(thermal boundary layer)이라고 합니다. 열 경계층과 운동량 경계층(momentum boundary layer)간에 상대적인 크기는 프란틀 수(P_r= (C_p μ)/k)에 의해 결정됩니다: 프란틀 수(Prandtl number)가 1일 경우, 열과 운동량 경계층 두께는 같습니다. 프란틀 수(Prandtl number)가 1보다 클 경우 운동량 경계층이 더 두껍고, 반대의 경우 열 경계층이 더 두껍다는 것을 의미합니다. 섭씨 20도의 대기압에서 공기는 프란틀 수(Prandtl number)가 0.7입니다. 공기이기 때문에 운동량과 열 경계층의 크기는 비슷하지만 운동량 경계층은 열 경계층보다 약간 얇습니다. 섭씨 20도인 물인 경우에 프란들 수(Prandtl number)는 7입니다. 그러므로 물에서 벽 근처에서의 온도 변화는 속도 변화보다 더 급격하다는 것을 의미합니다.
차가운 고체 벽 근처 공기의 자연 대류에 의한 온도(빨간색)와 속도(파란색) 프로파일
Natural Convection
자연대류는 부력에 의해 유동이 발생하는 것을 말합니다. 예상되는 열 성능에 따라, 자연 대류를 고려하거나(e.g. 냉각 분야), 무시(e.g. 단열층에서의 자연대류)할 수 있습니다. Ra로 표기되는 레일리 수(Rayleigh number)는 유체 중의 온도기울기가 어떤 값이 되면 자연 대류가 발생하는지 여부를 표현한 무차원 수입니다. 레일리 수(Rayleigh number)는 유체 물질의 물성값, 특성 길이 L, 온도차 ∆T(보통 고체와 주변 유체간의 온도차이)로 정의됩니다:
레일리 수(Rayleigh number)는
같이 프란틀과 그라쇼프 수로도 표현할 수 있습니다.
그라쇼프 수(Grashof number)는 부력과 점성력의 비로 표현되는 무차원 수입니다.
레일리 수가 작을 때(보통 103보다 작을 때), 대류는 무시되고 유체에서의 열전달은 대부분 전도에 의해 발생합니다.
레일리 수가 큰 경우, 대류에 의한 열전달을 고려해야 합니다. 부력이 점성력보다 크면 난류가 되고 그 외 영역은 층류가 됩니다. 층류와 난류 사이에 유동이 변하는 영역은 그라쇼프 수의 임계값은 109입니다.
열 경계층은
값이 1 또는 1보다 클 때, 고체 벽면과 주변 유체 사이에 온도가 변하는 영역을 보통 거리로 나타내는데,
의 식을 통해 근사값을 얻을 수 있습니다.
물컵 안의 차가운 물이 뜨거운 표면과 접촉하여 발생하는 자연대류에 의한 온도 분포
Forced Convection
강제 대류는 부력에 의한 외부 환경(e.g. 바람) 또는 장치(e.g. 팬, 펌프)에 의한 유동에 해당합니다. 이 경우 유동 영역은 등온 유동과 비슷하고 레이놀즈 수(Reynolds number)
를 사용하여 특성화될 수 있습니다. 레이놀즈 수는 점성력에 대한 관성력의 비로 표현됩니다. 낮은 레이놀즈 수는 점성력이 지배적이고 층류에서 관찰할 수 있습니다. 높은 레이놀즈 수에서는 시스템에서 댐핑이 매우 작고 작은 유동 교란이 발생됩니다. 만약 레이놀즈 수가 충분히 높다면 유동장이 난류 영역으로 바뀌게 됩니다. 레이놀즈 수를 사용하면
로 운동 경계층 두께를 계산할 수 있습니다.
강제대류에 의한 냉각에서 heat sink 주변의 유선과 온도 분포.
Radiative Heat Transfer
복사 열 전달은 위에서 설명한 전도와 대류 열 전달과 함께 사용할 수 있습니다. 대부분 응용분야에서의 열 복사 에너지는 유체에서는 통과되고, 고체에서는 통과되지 않습니다. 결과적으로 복사에 의한 열전달은 투명한 물질을 통과하여 고체 벽들 간에 전달되는 에너지로 설명됩니다. 회색 표면에 분산되어 방출되는 방사 열 유속(radiative heat flux)은
와 동일합니다. 표면이 균일한 온도
로 둘러싸인 경우, 방사 열 유속(radiative heat flux)은
입니다. 다른 온도로 표면이 둘러 쌓여있을 때 표면들간에 교환은 표면의 view factor에 의해 결정됩니다. 또한 유체와 고체 둘 다 투과성 또는 반투과성이 될 수 있습니다. 그래서 복사는 유체와 고체에서 발생될 수 있습니다. 매체(또는 반투과성)에서 복사 광선은 (유체 또는 고체) 매개체와 상호 작용을 하여 흡수, 방출, 산란 복사를 합니다. 복사 열 전달은 작은 온도 차이와 낮은 방사율을 가진 응용분야에서 무시 될 수 있는 반면 큰 온도 차이와 높은 방사율을 가진 응용분야에서는 중요한 역할을 합니다.
표면 방사율이 0(왼쪽)과 0.9(오른쪽)인 heat sink에서의 온도 분포 비교
일반적으로 복사 열전달 해석 시 파장에 대한 영향을 무시합니다. 그러나 실제로 파장대별로 흡수 또는 방사율이 다릅니다. 예를 들어 태양 복사 에너지의 경우 2.5um 파장을 기준으로 이보다 작으면 흡수되고, 2.5um 이상의 파장으로 표면에서 방사가 됩니다. 이것을 이용하면 다수의 파장대를 고려하여 복사 열전달을 해석할 때 유용하게 사용될 수 있습니다.
태양 복사의 흡수와 주변으로의 방사
Heat and Energy Balance
유체와 고체에서의 전도, 대류, 복사 열전달 현상은 열역학 1법칙인 에너지 보존 법칙을 따르게 됩니다. 예를 들어 고체에서 전도에 의해 열이 전달될 경우, 열 에너지에 의해 내부 에너지가 변화되는 양과 외부로 빠져나가는 양은 가열이 되는 열량과 같게 됩니다. 이것을 아래와 같은 관계식으로 표현할 수 있습니다.
여기에 유체 유동에 의한 대류 열전달이 포함을 한다면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
Conclusion
고체와 유체의 열 전달은 대다수 응용분야에서 함께 사용합니다. 두 개의 열 전달을 함께 사용하는 이유는 일반적으로 고체는 유체 속에 있고, 그 고체 주변으로 유체가 흐르기 때문입니다. 열 전달, 물성값, 유동 영역, 형상에 대한 정확한 이해는 온도 분포와 열 전달 해석을 가능하게 합니다. 또한 이러한 이해는 복합열전달 효과를 예측하거나 주어진 응용분야에서 열 전달 성능을 향상 시키기 위한 수치 시뮬레이션의 시작입니다.
Notations
: 정압 비열(SI unit: J/kg/K)
: 중력 가속도(SI unit: m/s2)
: Grashof number (무차원 수)
: 열 전도율(SI unit: W/m/K)
: 특성 길이(SI unit: m)
: 굴절률(무차원 수)
: 절대 압력(SI unit: Pa)
: Prandtl number (무차원 수)
: 열유속(SI unit: W/m2)
: 열원(SI unit: W/m3)
: Rayleigh number (무차원 수)
: 면형률 텐서(SI unit: 1/s)
: 온도 장 (SI unit:K)
: 주변 온도 (SI unit: K)
: 속도 장 (SI unit: m/s)
: 속도 (SI unit: m/s)
: 열 팽창 계수(SI unit: 1/K)
: 운동 경계층 두께(SI unit: m)
: 열 층 두께(SI unit: m)
: 특성 온도 차(SI unit: K)
: 표면 방사율(dimensionless number)
: 밀도 (SI unit: kg/m3)
: 스테판-볼츠만 상수 (SI unit: W/m2T4)
: 점성 응력 텐서 (SI unit: N/m2)
